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Las matemáticas y el conocimiento de la naturaleza

GALILEO GALILEI (1564-1642)

Astrónomo y físico italiano, natural de Pisa. Cuando todavía estudiaba en Pisa enunció la ley de las oscilaciones del péndulo. Por esta época inventó también una balanza hidrostática y escribió un tratado sobre el peso específico de los cuerpos sólidos. En 1588 obtuvo una cátedra de Matemáticas en la Universidad de Pisa, donde propuso su famoso principio de que todos los cuerpos, independientemente de su masa, caen con la misma velocidad. En 160   construyó un anteojo según el modelo de Hans Lippershey, de Middleburg (Holanda). El instrumento Ie sirvió para descubrir cuatro satélites de Júpiter de los que afirmó que no se hallaban fijos, sino que giraban en torno al planeta. Demostró la configuración no plana de la superficie lunar, y descubrió manchas en el Sol, de las que dedujo la rotación de este astro.

LAS MATEMATICAS Y EL CONOCIMIENTO DE LA NATURALEZA

«La naturaleza es un gran libro escrito en lenguaje matemático» (Galileo). ¿Son en realidad las cosas número y armonía? ¿Se puede aceptar la afirmación de Filolao de que «sin el número no sería posible que algo fuera conocido y comprendido»?

En cuanto a la primera afirmación, las cosas son números, y dado que nuestra representación de los números no es figurativa, responderíamos que las cosas no son números, ni tienen números, ni están hechas a imitación de los números (Platón), sino que las cosas son simplemente numerables. El error de los pitagóricos estuvo en confundir el número con su representación figurativa; los números no son puntos divisibles o indivisibles, ni líneas, ni superficies, ni sólidos, aunque se puedan representar por puntos, líneas etc. ¿Qué es entonces el número? El número es simplemente una idea, un concepto que se puede representar por medio de puntos, o por medio de una “ve" mayúscula, V, o por medio de un símbolo especial, 5. El número significa correspondencia uno a uno entre dos grupos o conjuntos de cosas. Si comparo un conjunto de mesas con un conjunto de sillas y a cada mesa corresponde una silla y sólo una, entonces, los dos conjuntos tienen el mismo número; ahora bien, si al conjunto de los dedos de una mano lo llamo «cinco» y a cada dedo corresponde una mesa, entonces, el número correspondiente a ese conjunto es también «cinco». El concepto de número consta de dos elementos, el de conjunto y el de correspondencia uno a uno.

En sus comienzos las matemáticas se identificaban con la aritmética, de tal manera que la geometría era una especie de aritmética, de aquí el nombre de aritmogeometría. Un poco más tarde, de una manera especial a partir de Euclides, la geometría remplaza a la aritmética, de tal manera que la mayoría de los cálculos aritméticos se hacen geométricamente, por medio de regla y compás. El álgebra, como una generalización de la aritmética por medio de letras, aparece, después de algunos tanteos, en el siglo XVI (Vieta y René Descartes). Ya no se trabaja con números particulares, sino con letras, que están en lugar de un número cualquiera. El descubrimiento de este nuevo método posibilita, de una manera definitiva, el progreso cada vez más acelerado de las matemáticas: el cálculo infinitesimal (Newton y Leibniz), el cálculo integral, el cálculo tensorial, etc. Si para los antiguos las matemáticas eran sinónimo de aritmética, para nosotros son sinónimo de álgebra, con todo el avance de generalización que el álgebra significa. Dentro de este contexto histórico podemos afirmar que las cosas no son números, por la misma razón por la que no son letras. Nuestro concepto de las matemáticas está muy lejos del concepto figurativo de los antiguos pitagóricos.

¿Si las cosas no son números, son, acaso, armonía, y una armonía que se puede representar matemáticamente? El concepto griego de armonía está íntimamente unido con el concepto de música, por esta razón suponían una «sinfonía» de sonidos ejecutada por los astros en sus movimientos, como nos lo refiere Aristóteles. Evidentemente no podemos aceptar esta clase de armonía musical, cósmica, aunque Kepler, uno de los grandes fundadores de la astronomía moderna, siglo XVI, y seguramente influenciado de pitagorismo, escriba en uno de sus libros: «los movimientos de los cielos no son, pues, sino un concierto perenne». ¿Pero si generalizamos el concepto de armonía; y lo hacemos equivalente al concepto de «racionalidad», de orden, de «lógica», como lo contrapuesto a caos, confusión, desorden, existe una armonía en el universo? ¿Existen leyes que rijan los fenómenos físicos, o por el contrario, nada es predecible, nada es «calculable»?

El concepto de «ley física» no es tan simple como puede parecer a simple vista, está estrechamente unido con los conceptos de casualidad, de necesidad física, de azar, etc. Sin entrar en discusiones, supremamente interesantes para el científico y para el filósofo, podemos aceptar que en el universo existe cierta constancia en la sucesión de los fenómenos físicos y, por lo tanto, cierto orden. Los astros se mueven según órbitas fijas, los metales se dilatan o contraen en función de la temperatura, los cuerpos caen, en la proximidad de la Tierra y en el vacío, con una aceleración constante cuyo valor es aproximadamente 9.81 m/s2, etc. Pero lo más interesante de todo esto es que podemos expresar algebraicamente la constancia de los fenómenos físicos. El espacio recorrido por un cuerpo en caída libre viene dado por la fórmula: e = 1/2 gt2 en donde «e» significa el espacio recorrido, «g» 9.81 m/s2, y «t», el tiempo requerido para recorrer el espacio «e». La ciencia de la naturaleza o «física» no es lo mismo que el álgebra. La física estudia la relación entre sí de los fenómenos físicos, el álgebra, la relación de los números entre sí, sin embargo, expresamos continuamente la relación de los fenómenos físicos por medio de fórmulas algebraicas. El álgebra constituye hoy en día el único lenguaje de la física, su principal instrumento, y los progresos de la física son paralelos a los progresos del álgebra o ciencia de los números.

Si prescindimos del aspecto mágico y religioso de la teoría pitagórica de los números, nos encontramos con una intuición genial que hoy en día podemos valorar en toda su grandeza: nuestro conocimiento de la naturaleza se puede expresar matemáticamente porque existe cierta armonía, entre las cosas y los números. He aquí la importancia histórica de la escuela pitagórica.

El lenguaje de la física no ha sido siempre el lenguaje matemático, como pretendían los pitagóricos. En la antigüedad, Aristóteles, siglo IV antes de Cristo, uno de los adversarios más poderoso de los pitagóricos, sentó los fundamentos, y elaboró, en parte, una física sin matemáticas que llegó hasta comienzos del siglo XVII. La cuantificación de los fenómenos físicos, sin la cual no es posible la matematización de estos, además de imposible, es perjudicial. La razón es muy simple, la física trata sobre cualidades, y la cualidad, como tal, es incuantificable. ¿Qué sentido puede tener la afirmación de que un «blanco» es dos veces más blanco que otro? Admitamos que una cualidad puede ser más o menos intensa, que un cuerpo puede ser más caliente que otro, que el rojo de una superficie puede ser menos «intenso» que el rojo de otra superficie; pero de los grados de intensidad, a la cuantificación exactamente matemática, hay un abismo. Solo lo que puede existir como ser independiente, como sustancia, es cuantificable. A un montón de arena se le puede agregar otro montón de arena para formar un montón dos veces más grande, pero dos personas inteligentes no hacen un genio.

La física, como ciencia de los fenómenos naturales, trata de cualidades, del calor y del frío, de la humedad y de la sequedad; del movimiento y del reposo. ¿Qué es el movimiento? ¿Una sustancia o una cualidad? Indudablemente el movimiento es una cualidad como el color, el tamaño, etc. Así como no puede existir el color separado del objeto colorado, así tampoco puede existir el movimiento sin el cuerpo que se mueve. ¿Si el movimiento es una cualidad, qué sentido y qué importancia, puede tener para la física la afirmación que un cuerpo tiene dos movimientos, y otro, tres? Por estas razones la física aristotélica es una física descriptiva, que rechaza por principio todo intento de matematización. La descripción se lleva a cabo en la medida que los fenómenos físicos se reducen a principios filosóficos acerca de la naturaleza de los cuerpos, acerca del movimiento, etc. en forma coherente y lógica. Dentro de este contexto, se entiende la revolución iniciada por Galileo en el siglo XVII, con el principio de que «la naturaleza es un libro escrito con caracteres geométricos, que sólo puede ser entendido por quien entiende la geometría». Galileo rompe con la tradición aristotélica de una física sin matemáticas, e inicia una nueva tradición, que llega hasta nuestros días.

TEXTOS

1. "Dios mismo era demasiado bueno para permanecer ocioso, y empezó a jugar el juego de los signos, dejando marcada su semejanza en el mundo; por eso, me atrevo a pensar que la naturaleza entera y el maravilloso firmamento están simbolizados en el arte de la geometría" (Kepler).

2. "La naturaleza es un gran libro escrito en lenguaje matemático" (Galileo).

3. "Igual que un mismo artesano puede hacer dos relojes que, aun cuando ambos señalen con igual exactitud el tiempo y no haya entre ellos diferencia exterior aparente, no tienen nada semejante en la composición de sus ruedas; así el Supremo Hacedor de las cosas tiene, sin duda, una infinidad de medios diversos a su disposición, por cada uno de los cuales pudo haber hecho que todas las cosas de este mundo aparezcan como nosotros las vemos, sin que le sea posible a la mente humana saber cuál de estos medios decidió emplear" (Descartes).

4. "Porque Pitágoras, según testimonio de Macrobio, estiraba los intestinos de las ovejas o los tendones de los bueyes atándoles varios pesos, y a partir de esto aprendió la razón de la armonía celeste..., la proporción descubierta, mediante tales experimentos, según testimonio de Macrobio, la aplicó a los cielos y, consiguientemente, al comparar esos pesos con los de los planetas, y las longitudes de las cuerdas con las distancias planetarias, entendió mediante la armonía de los cielos que los pesos (tensión) de los planetas hacia el Sol se comportaban recíprocamente como el cuadrado de sus distancias respecto del Sol" (Newton).

5. "Ahora podemos probar claramente que la rotación es el tipo primario de la locomoción (el más perfecto). Como queda dicho, toda locomoción (movimiento) es o rotatoria o rectilínea o compuesta de ambas, y las dos primeras han de ser anteriores a la última porque son los elementos de que la última consta. Por otra parte, la locomoción rotatoria es anterior a la rectilínea, porque es más simple y completa, como probaremos en seguida. La línea recta recorrida en el movimiento rectilíneo no puede ser infinita, porque no existe una línea recta infinita; y aunque existiera, nada podría recorrerla moviéndose: porque lo imposible no se da, y es imposible recorrer una distancia infinita. Por otro lado, el movimiento rectilíneo sobre una línea recta finita es, si se vuelve hacia atrás, un movimiento compuesto, en realidad, dos movimientos, y si no se retrocede, un movimiento incompleto y perecedero; y en el orden de la naturaleza, de la definición y del tiempo a la vez, el movimiento completo antecede al incompleto y el imperecedero al perecedero. Además, un movimiento que puede ser eterno antecede al que no puede serlo. Ahora bien, el movimiento rotatorio puede ser eterno, lo que no puede ser ningún otro movimiento, de tipo de locomoción o de cualquier otro tipo, de suerte que en todos ellos tiene que producirse una parada, en cuyo caso ha cesado el movimiento. Por otra parte, la conclusión a que hemos llegado, que el movimiento rotatorio es singular y continuo y eI rectilíneo no lo es, es razonable. En el movimiento rectilíneo se da un punto concreto de partida, un punto de llegada y un punto intermedio. En cambio, en el movimiento circular no existen tales puntos fijos, pues, ¿por qué determinado punto de la línea habría de constituir un límite con preferencia a otro? Cualquier punto de ella, lo mismo que cualquier otro, es a la vez punto de partida, punto intermedio y punto de llegada" (Aristóteles).

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